Todos conocemos a algún amante ferviente de las matemáticas. Muchas veces les perdemos la pista por años, pero cuando los reencontramos, nos cuentan cosas fascinantes. Por ejemplo, me ha tocado oír a compañeros a quienes se les iluminan los ojos cuando dicen «…utilizando el axioma de elección», o bien se les oscurecen explicando, «pero por culpa de ese axioma…». Inmediatamente surgen varias dudas: ¿Qué es un axioma?, ¿qué dice el Axioma de Elección? y, ¿cómo influye en nuestras vidas?
Al igual que los griegos, nuestra idea más común acerca de lo que significa axioma es, sin más, que es «una verdad evidente», un hecho tan claro que no necesita ser explicado para probar su veracidad: el hecho de que entre dos puntos pasa una recta, o de que todos tenemos madre. Pero lo cierto es que, desde principios del siglo pasado, esta idea dejó de ser útil para los matemáticos y los lógicos —incluso para los filósofos.
Los axiomas
Por diversas razones científicas y matemáticas, los axiomas comenzaron a utilizarse como la base de las teorías dentro de los sistemas lógicos, es decir, como los cimientos de la construcción del edificio matemático, un edificio que tienecomo ladrillos a los teoremas y como cemento a la lógica. La razón principal para desechar el concepto ortodoxo de axioma aparece en 1931.
En este año, Kurt Gödel demostró que, utilizando palabras técnicas, todo sistema axiomático recursivo lo suficientemente poderoso para describir la aritmética de los naturales no es completo. El teorema de Gödel muestra que siempre que podamos reconocer nuestros axiomas —es decir, siempre que exista un método que dure una cantidad finita de pasos para reconocer si un enunciado es axioma o no, existirán enunciados que los axiomas no pueden probar si son verdaderos o falsos. Con palabras menos rimbombantes, Gödel muestra que no importa desde cuántas verdades evidentes y reconocibles partamos; si ellas nos pueden explicar a los números naturales —hablando de matemáticas—, entonces encontraremos hechos cuya veracidad o falsedad no podremos demostrar, aunque esto no significa que en nuestra realidad —o el modelo donde trabajemos— no sepamos su valor de verdad. El primer ejemplo histórico de un enunciado de este estilo fue la Hipótesis del Continuo 1 Aunque no compete al artículo actual, la Hipótesis del Continuo habla sobre una forma de encontrar al primer infinito más grande que el infinito de los números naturales. , pero uno de los más problemáticos y discutidos desde su enunciación fue el axioma de elección.
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