En la vida diaria utilizamos una variedad de términos y razonamientos que no se ajustan a los patrones de la lógica ordinaria y, sin embargo, son comprensibles y correctos. Por ejemplo, tomemos el silogismo siguiente: «Normalmente, los libros antiguos resultan costosos». Los términos de este razonamiento no son precisos, sino vagos o difusos: «antiguos», «difíciles de conseguir», y «costosos»; además de utilizar un cuantificado vago «normalmente».
La lógica ordinaria se maneja con predicados precisos y deja fuera toda esa riqueza de matices contenida en las expresiones imprecisas que empleamos en los intercambios cotidianos. Desde 1965, el matemático informático Lofti Zadeh creó un sistema novedoso que denominó teoría de conjuntos borrosos o difusos —fuzzy sets—, y con ello restableció la dignidad de este tipo de expresiones en el terreno mismo de la matemática.
Zadeh y el valor del gris
Nacido en 1921 en el Azerbaiyán soviético, Zadeh emigróen 1944 a los Estados Unidos, donde obtuvo una maestríaen ingeniería eléctrica en el Instituto Tecnológico deMassachussets —MIT—; luego hizo un doctorado en laUniversidad de Columbia y, finalmente, se incorporó comodocente a la Universidad de Berkeley, lugar en el quesurgió la teoría de lo difuso o borroso. En un principio, el sistema de Zadeh parecía una mera hipótesis o una simple conjetura matemática, pero pronto rebasó el ámbito estrictamente formal y abrió nuevos horizontes en campos como la semántica, la lógica, la psicología, la física, la economía, la geografía y la inteligencia artificial, entre otros. En los años 80 los japoneses tomaron esos sistemas con fines de control y los emplearon para crear máquinas inteligentes. Hacia 1990 había más de 100 productos y aplicaciones tecnológicas de control «borroso». Para el año 2000, la cifra se había cuadruplicado.
Lógica estándar
Zadeh le dio una textura matemática a la noción del colorgris. De acuerdo con la lógica estándar, un enunciado cualquiera es o bien verdadero o bien falso; no hay un término medio entre la verdad y la falsedad. Eso es lo que nos enseñan cuando aprendemos lógica en la escuela. Nunca, o casi nunca, nos dicen que hay otras formas de razonamiento y menos aún nos mencionan a la lógica difusa o borrosa.
Amor
Tomemos el predicado vago «estar enamorado» e incorporémoslo en la frase «Juan está enamorado de María». Se trata de un predicado que admite una serie de grados o de tonalidades de color gris: ¿qué tanto está enamorado Juan? ¿100%?, ¿98%?, ¿72%?, ¿56%? Puede ser difícil o inútil cuantificar qué tanto está enamorado Juan de María. Sin llegar a las cuantificaciones numéricas, como las que suelen emplearse en la lógica difusa, nos quedamos con expresiones lingüísticas igualmente vagas: «muchísimo», «poco», «perdidamente», «una barbaridad» e incluso, a veces, se dice «demasiado». Muy bien, pero eso indica que el amor es cuestión de grados, porque pueden vérsele varias tonalidades.
La teoría de lo difuso fundamenta la idea de que entre el todo y la nada, entre el blanco y el negro, entre lo totalmente falso y lo totalmente verdadero, hay una escala numérica y ésa es la que sirve para construir la lógica de lo borroso. Y si es cuestión de grados, entonces los límites y las fronteras se tornan borrosos. En contraste, la lógica ordinaria es bivalente y mantiene límites absolutos con valores excluyentes: verdadero o falso, blanco o negro, A o no-A. El amor y el odio se presentan como sentimientos incompatibles, aun cuando la necesidad y Freud han demostrado que los neuróticos aman y odian al mismo tiempo a una persona, contradicción a la que dio el nombre de «ambivalencia», como el refrán que dice que «del odio al amor sólo hay un paso»; para la lógica borrosa los predicados contradictorios describen matices que, efectivamente, se producen y reflejan tonalidades del pensar y del sentir.’
Belleza
Veamos ahora el caso del predicado «ser guapa» en la frase «María es guapa». Es guapa, pero ¿comparada con quién? O más bien: ¿hasta qué punto es guapa? Desde Platón, se sabe que la belleza es un ideal que algunos creen encontrar en la realidad, aunque nunca se alcance. Sin ser platónicos, ni caer en la idealización de los conceptos, podemos convenir que la belleza es una cuestión de grados y, más todavía, de enfoques. Entonces podemos aseverar, por ejemplo, que «María es más guapa que Antonia», y quizá podremos advertir que «María es menos guapa que Alfonsina». Todo es cuestión de grados, y nunca falta el que dice que «no hay mujer fea», o sea, que hay algo de belleza en la fealdad y viceversa. Así, entre un extremo y otro se encuentra un sinnúmero de matices, como entre el blanco y el negro.
La lógica difusa emplea el concepto fundamental de variable lingüística, la cual se obtiene a partir de un predicado vago; por ejemplo, «bella», de su antónimo, «fea», y de modificadores lingüísticos aplicados a esos predicados. Así, tenemos una serie de valores: «muy bella», «más o menos bella», «no muy fea», «no tan fea», «ni bella ni fea», etcétera. A esta lista pueden añadirse los superlativos —«bellísima»—, y toda una gama de expresiones que usamos comúnmente en el habla de todos los días para indicar ponderaciones que son, irremediablemente, vagas.
Conjuntos difusos
Sin embargo, cabe hacer notar que la teoría de los conjuntos difusos no tiene que ver ni con la estadística ni con la probabilidad. Es una teoría nueva y diferente. Las encuestas de opinión determinan cuántas personas están a favor, en contra o les resulta indiferente una cierta formulación. En cambio, «el conjunto de las personas prudentes» no es directamente descriptible en términos estadísticos o de probabilidad.Entre las nociones de «prudente» e «imprudente» hay toda una escala de grados intermedios.
De eso precisamente se ocupa la teoría de lo difuso. ¿Qué importancia tiene todo esto más allá de dar cuenta deformas de razonamiento que se usan en los intercambios lingüísticos? Desde hace más de dos décadas, los ingenieros de la borrosidad diseñan programas y chips para que la manera de razonar de las computadoras se parezca más a la de las personas. De este modo se logrará que las máquinas sean «más inteligentes» y «sea más fácil trabajar con ellas».
Para hacer su lógica, Zadeh procedió de la manera siguiente: a las palabras de la lengua cuya interpretación intuitiva es gradual —joven, rico, etcétera— les asoció funciones de una «variable de soporte» —edad, fortuna—en el intervalo [0, 1] de los grados de verdad, y a las expresiones que evocan de manera explícita la gradualidad —muy, poco, más o menos—, les asoció cálculos sobre esos grados —principalmente mediante elevación al cuadrado y raíz cuadrada.
De manera muy general, podríamos decir que fue así como logró construir una matemática de lo difuso que, aunque es una aproximación, está más cerca de las leyes que rigen el mundo de la lógica ordinaria. En la informática y en los estudios sobre inteligencia artificial se emplea cada vez más este vigoroso instrumento racional, y por eso sería muy bueno que se incorporara la lógica borrosa en los sistemas educativos desde los niveles básicos. ¿Advirtió el lector la cantidad de términos vagos que empleé en esta última frase?
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