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Teselación: matemáticas, arte y naturaleza

¿Qué es una tesela? ¿Cuál es la forma más sencilla de teselar? El arte, la naturaleza y las matemáticas forman la trinidad que subyace en todo nuestro Universo.

Últimamente mis papás han estado visitando tiendas para comprar el nuevo mosaico para la cocina. Cuando me preguntaron qué me gustaría poner como mosaico, vino a mi mente el recuerdo de ese hermoso piso en un museo, formado de triángulos y estrellas que parecía crecer sin orden preestablecido, un piso formado por teselas de Penrose…

¿Qué es una tesela? Las teselas
—del latín tesellum— son tejas,
 placas, pisos, mosaicos o cualquier 
cosa plana con una forma definida.
 La diversión comienza cuando se
 quiere utilizar un conjunto de 
placas de ciertas formas para cubrir
 un espacio grande.

En términos 
matemáticos, la teselación del plano es el
 recubrimiento del plano euclidiano con formas poligonales, en donde se da un número finito de formas diferentes y se pregunta si es posible recubrir completamente el plano, sin huecos ni solapamientos, utilizando solamente estas formas y no otras.

Mosaicos del Rivismo. Teselas Experienciales de Ramón Rivas

Lenguaje matemático traducido en arte

La forma más sencilla de teselar es la que practicamos en los muros de las cocinas y baños de nuestras casas: líneas de cuadrados o rectángulos que pueden coincidir una sobre otra o estar ligeramente desfasadas entre sí. Hay otras formas un poco más rebuscadas. Recuerdo que el piso del baño de la casa donde viví la mayor parte de mi infancia tenía formas que parecían las escamas de un caparazón de tortuga, un poco curveadas e intercaladas en diagonal.

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Ligeramente más dinámicas son las piezas de rompecabezas comunes; tienen algunos huecos y chipotes en los lados que nos permiten decidir si tal pieza, a pesar de sus colores, va o no junto a aquella otra. Pero, ¡todas están basadas en los cuadrados de un principio! Compruébenlo. Tracen líneas imaginarias entre esquinas opuestas de los mosaicos o piezas y verán que coinciden con las esquinas de aquellos que están en diagonal.1 El paralelogramo generado por las intersecciones de las diagonales y los lados de las placas se conoce como su «paralelogramo periodo» y es la característica que distingue a todas las teselaciones periódicas.

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En algunas teselaciones no es tan fácil reconocer esas diagonales; tal es el caso de los hexágonos en los panales o el uso alternado de eneágonos2 Polígonos regulares de nueve lados. y estrellas de seis picos, pero, si se traza una línea lo suficientemente larga, se verá que en cierto punto corta varias de las figuras en la misma sección en la que lo había hecho antes.

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Cuando se cumple esta «regla de las diagonales», tenemos una teselación periódica; en términos más sencillos: dada una zona específica, se verá que la misma disposición de las placas se presenta en diferentes regiones a la misma distancia unas de otras, por lo que podemos ubicar placas de placas.

Existen otras formas, hermosas, interesantes y únicas de teselar el plano, pero que nunca he visto en venta, a pesar de la belleza que pudieran darle a un piso. Esta belleza se muestra en la espontaneidad, ya que estas teselas cubren el plano de manera no periódica; eso quiere decir que la regla de las diagonales no se cumple y que la disposición de las figuras podrá ser semejante, pero nunca igual en diferentes regiones del plano.

Es obvio que una espiral no puede cumplir la regla de las diagonales, pues tiene un origen que resulta irrepetible.

Tenemos, por ejemplo, la tesela versátil3 En inglés, versatile; se trata de un juego de palabras, porque tile significa «tesela». Esta tesela fue ideada por B. Grunbaum y G. C. Shepard, basados en una tesela de H. Voderberg.
. Estas plaquitas parecen colmillos, con la base plana y los lados formados por segmentos del mismo largo de la base, en vez de ser uniformemente curvos.

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La tesela versátil le hace honor a su nombre, ya que puede cubrir el plano de forma periódica y no periódica, dependiendo de su distribución. La primera se logra alternando bases y puntas hasta obtener una tira que parece una sonrisa monstruosa. Si se juntan varias tiras, se verá que cubren un plano sin huecos y que cumplen con la regla de las diagonales. Ahora viene la parte excitante; estas teselas pueden cubrir el plano de forma no periódica, generando espirales.

Simplemente, hay que unir varias teselas por sus puntas y, luego, insertar otras con las bases recargadas en los lados de las primeras, y así continuar para que la espiral vaya creciendo.
Por último, están las teselas que son absolutamente no periódicas. Éstas tienen una historia interesante.

En 1961 el lógico Hao-Wang planteó el problema de la existencia de un conjunto de teselas puramente aperiódico. Cinco años más tarde, Robert Berger creó el primer conjunto de teselas con estas características. El problema era que su conjunto inicial contenía 20,426 teselas diferentes.

Insisto, las formas que se pueden obtener con estas teselas son, en realidad, muy bellas.

Berger siguió trabajando y pudo reducir el número de placas a 104 y, más tarde, Raphael Robinson redujo el número apenas a seis. Finalmente, el conjunto más pequeño de teselas no periódicas conocido contiene dos placas: las teselas de Penrose, nombradas en honor a su descubridor, el físico, matemático y filósofo Roger Penrose, que las descubrió en 1972. En general, las formas que saltan a la vista en estas teselaciones son estrellas de cinco picos.

Respecto a las teselas, el arte ha hecho uso de ellas múltiples veces, pero sólo una vez con la maestría de M. C. Escher.

MC Escher, Images of Mathematics...

Para conocer más sobre las teselas y el arte generado con el lenguaje matemático, consulten este artículo completo en Algarabía 20.

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