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¿Hay infinitos más grandes que otros?

Durante muchos siglos se creía inútil y sin sentido hablar de que un infinito sea más grande que otro, pues a final de cuentas ambos son infinitos, absolutos e insuperables…

Esa idea predominaba hasta que el matemático alemán Georg Cantor probó en el siglo xix que de hecho, hay infinitos más grandes —él los llamaba «transfinitos», reservando el término «infinito» sólo para Dios—. Una de las maneras de explicar esto es por medio de su teorema, el cual se puede plantear de diversas formas, pero lo mejor es contarlo como una pequeña historia.

Reproductor celestial

Supongamos que Dios quiere organizar las canciones de su biblioteca de música en listas de reproducción. Quizá usted tenga dos mil o tres mil canciones, o si es melómano, muchas más; pero no tantas como Dios. Él tiene todas las canciones que han existido y hasta sus lados B: digamos que él cuenta con un número infinito de canciones en su biblioteca. Y cuando la consulta, a cada canción le corresponde un número.

Esto no es muy distinto a lo que sucede cuando usted oye música, salvo que Dios puede seguir bajando la barra de scroll y siempre seguirán apareciendo nuevas canciones. Además tiene más temas de los que existen en nuestro mundo terrenal, puesto que el número de canciones que hay y existirán en
la historia es finito, mientras que las del reproductor de música celestial son infinitas. Para facilitarnos las cosas, nos referiremos a cada una de las canciones que Dios tiene con el número que tiene asignado en una primera lista. Supongamos que «La negra Tomasa» es la número 1, y así sucesivamente:

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¿Cómo va a organizar esto en listas? Pues digamos que Dios comienza por hacer un playlist para todo tipo de situaciones. Uno con sus canciones favoritas de rock, otro con salsa o para manejar en carretera. Dios tiene todo el tiempo del mundo: en realidad tiene toda la eternidad y además es omnipotente, así que puede hacer todas las combinaciones posibles de listas de reproducción, y justo eso decide hacer.

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Aquí vemos sólo las primeras cuatro canciones y las primeras tres listas, pero en realidad hay filas y columnas infinitas.

Aunque sus listas de reproducción fueran iguales, en todo lo demás difieren al menos en algunas canciones.

Dios se decide
 pues a realizar todas estas combinaciones. Algunas listas tendrán muy pocas canciones, o incluso una —la lista más pequeña no tendrá canciones—. Habrá listas que tengan miles de millones de canciones, otras tendrán muchas más. Hay una lista donde todos los renglones están palomeados y por tanto, tiene todas las canciones.

Listas y números

Hasta ahora podemos notar que como están numeradas, tanto el número de canciones como de listas corresponden a la cantidad de números naturales que existen, es decir, los números que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4...

Vale la pena hacer un pequeño paréntesis. Esto se puede entender de manera muy intuitiva. Si tengo dos bolsas de canicas, y conforme las voy sacando puedo poner a cada canica de la primera bolsa con una canica de la segunda bolsa y al terminar no me sobra ninguna, quiere decir que las dos bolsas tienen el mismo número de canicas. Georg Cantor propuso 
de manera brillante que lo mismo sucede para los conjuntos infinitos. De alguna manera, «contar» un conjunto es asignarle un número natural a cada uno de sus miembros. Si estoy contando ovejas, a la primera le asignamos el «1», a la segunda el «2» y así sucesivamente.

Puesto que cada canción de Dios tiene asignado un número natural, el conjunto de sus canciones es del tamaño del conjunto de números naturales.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas dedicada a las colecciones de objetos y sus propiedades. Uno de los pioneros en formularla fue el alemán Georg Cantor.

Volvamos a la lista que realizaba Dios. La columna horizontal
y la vertical son infinitas, y puesto que sería posible numerarlas, son del mismo tamaño: ambas son tan grandes como el conjunto de números naturales. Sí, al principio se dijo que esta historia iba a mostrar que unos infinitos son más grandes que otros, pero apenas comienza lo interesante.

Dios está muy contento por haber terminado de organizar sus canciones —a veces puede ser frívolo—, pero como siempre, llega el Diablo a arruinarlo todo.

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— ¿Qué tienes ahí?— dice el Maligno con una sonrisa. —Unas listas de reproducción para mi biblioteca infinita de canciones— responde Dios sin inmutarse.
—Parece que son muchas.
—Son infinitas. — Dios responde algo irritado, porque siendo omnisciente, sabe que el Diablo habla con sorna.
—Qué interesante — continúa—. A lo mejor después yo te puedo pasar una.
—No — dice Dios—. Todas las listas de reproducción posibles ya están ahí.
—Te apuesto...— dice el 
Diablo — a que puedo hacer una lista de reproducción que no está en tu reproductor.
—Ya sabes que apostar es pecado.
—Bueno, entonces te reto.

Dios acepta gustoso y le pide al Diablo que le explique cómo puede hacer una lista de canciones nueva. La estrategia del Diablo es muy sencilla, le explica que lo único que se tiene que hacer es una «diagonal». Es decir, toma la tabla de Dios y en la primera lista cambia la primera canción. Si antes era una paloma, pondrá un tache y viceversa, en la segunda lista cambia la segunda canción, etcétera. Para ilustrar esto comparemos la tabla divina que teníamos con la diabólica:

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Como se puede ver, esta «diagonal» forma una lista de reproducción. Ésta no tendría a la primera canción —porque tiene tache—, pero sí a la segunda y a la tercera, etcétera. Esta lista, sostiene el Diablo, no está dentro de las que tiene Dios.

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—Muy ingenioso —dice el Padre Celestial — ¿Pero cómo sabes que tu playlist no está dentro de los míos?

—Porque es diferente a todos los que tienes en al menos una canción. Es diferente a la lista 1 porque ésta tiene la canción «1» y la mía no, es diferente a la lista 2 porque ésta no tiene la canción «2» y la mía sí; y así para cada una.

A Dios le sorprende esto —cierto que todo lo sabe, pero después de pasar tanto tiempo organizando canciones está algo atarantado—. Está tan enojado que piensa en expulsar al Diablo del Paraíso... pero recuerda que ya lo hizo.

Lo que muestra este relato, y por tanto el teorema de Cantor, es que el número de listas de reproducción posibles es más grande que el número de canciones.

—Bien —concede Dios—. Tienes razón. La lista que acabas de hacer no estaba entre las mías, pero no tengo más que agregarla. ¡Ahora sí, tengo las listas de reproducción posibles en mi reproductor!

—Muy bien —continúa el Diablo—, pero no has entendido del todo. Otra vez puedo hacer una nueva diagonal y de nuevo voy a tener una lista que no está ahí.

—También la puedo agregar— señala Dios con voz grave.
— ¡Y yo entonces puedo hacer otra más!
—Creo —dice Dios con una sonrisa, después de permanecer unos momentos en silencio— que te he subestimado todos estos años.

Si desean conocer por completo el teorema de Cantor ⎯y cómo termina esta historia⎯, consulten Algarabía 128.

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  • Pingback: π, ese loco número irracional()

  • Christian

    Creo que es un ejemplo muy estupido el de poner las canciones que tendria dios… No hay infinitas canciones si no que debe haber un numero por ejemplo “50.058.049.323.589.423” de canciones, es un ejemplo…
    El mejor ejemplo seria de un infinito mas grande del otro.. Cuantos numeros hay entre el 0 y el 10.. y cuantos numeros hay entre el 0 y el 20? Son iguales? Quien tiene mas numeros.. La respuesta es que ambos son infinitos y el del 0 al 20 es un infinito mas grande que el del 0 al 10

  • Hugo Huitzilihuitl

    Mucho choro.
    El conjunto de números naturales es infinito.
    El conjunto de números racionales es intinito.
    Pero el conjunto de números racionales obviamente es mas grande que el conjunto de números naturales. Luego entonces; hay infinitos más grandes que otros.

    • Xiuh

      ¡Incorrecto! El conjunto de números racionales NO es más grande que el conjunto de números naturales. Los racionales se pueden poner en una lista al igual que los naturales. Por otro lado, los números reales sí forman un conjunto más grande (no se pueden poner en una lista).

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